経済学では、市場価格が動いて需要と供給が一致するモデルを学びますが、価格が使えない場面では別の仕組みが必要です。シャープレーは1962年、ゲイルとともに『 deferred acceptance 』という手続（ギャル＝シャープレー・アルゴリズム）を考案し、安定なマッチングが必ず得られることを数学的に示しました。ロスは1980年代に米国のインターン配属市場を調べ、このアルゴリズムが実際の混乱を解決している事実を発見しました。その後ロスは、医師夫婦の同一地域希望や高校入試など、現実の制約を加味した改良型アルゴリズムを設計し、戦略的操作が起こりにくい仕組みへと発展させました。これにより、公平性と効率性を両立した配分が実社会で実現されています。

ギャル＝シャープレー・アルゴリズムは、提案側が順位に従って相手に申し込み、受け手は暫定的に最良案を保持しつつ残りを拒否する操作を繰り返すだけでコアに属するマッチングへ収束する。提案権の配置は配分の効用分配に大きな影響を与え、提案側にとってはPareto最適、受領側にとっては最劣の安定解になる点が重要である。ロスはレジデント･マッチングで観察された実証パズル（早期内定やカップル問題）を説明し、受給者提案型アルゴリズムに切り替えることで戦略的真実報告（strategy-proofness）をほぼ達成した。さらに腎臓交換市場では互恵的なペアリング不足を「トップトレーディングサイクル」や3-way, 4-way chain に拡張する手法を提唱し、死亡率低減に寄与している。これらの研究はオークション理論やプラットフォーム設計とも接続し、マッチング市場のメカニズム設計という新しい学際領域を形成した。

安定マッチング理論では, 二面集合 N ∪ M 上の完全順位プロフィールから, blocking pair を含まない配分を選択する選択関数 f を構築する。Gale–Shapley DA は O(n^2) で core non-emptiness を示し, 提案側に対する group-strategyproofness (Dubins–Freedman) を満たす。一方, NP 完求である couple externalities を取り込むため, Roth–Peranson (1999) は applicant-proposing DA に heuristic swap と regional pair constraints を実装し, 20 万超のマッチングを安定域へ投射した。Kidney exchange では, compatibility graph 上で cycle/chain cover を最大化する ILP が用いられ, horizon-k constraint 下で誘因適合性を保持する β-approximation が示されている。これら応用は, matching with contracts, deferred acceptance with ties, および school choice の公平性条件 (α-EF, justified envy) 研究へ波及し, mechanism-design-without-money の基盤を形成した。