原子物理は19世紀末からの大きなテーマで、ラザフォードの散乱実験により原子核の存在が示されました。しかし古典物理だけでは電子がなぜ核に落ち込まないかを説明できませんでした。1913年、ボーアはプランクの量子仮説を取り入れ、電子が取り得る軌道を離散的に制限しました。電子は許された軌道間を遷移するときに、正確なエネルギー差に対応する光子を放出・吸収します。その結果、水素スペクトルのリュードベリ公式が理論的に導かれ、実験値と一致しました。この理論は量子力学への道を開き、半導体やレーザーなど現代技術の基礎を築きました。また、星や遠い銀河の化学組成をスペクトルから読み取る天文学にも応用されています。ボーアの業績は、科学と生活の両方に広く恩恵をもたらしているのです。

ボーアはラザフォード原子模型を出発点とし、角運動量がh/2πの整数倍に量子化されるという仮定を導入した。この量子条件により、電子の円軌道半径とエネルギーが離散化され、n番目の軌道半径はa₀n²（a₀はボーア半径）と定義された。さらに、電子がnからm (< n) に遷移する際に放出される光子エネルギーはEn−Emとなり、対応波長がリュードベリ式1/λ=R(1/m²−1/n²)を再現した。このモデルは古典力学と量子仮説の折衷であり、放射の連続性問題を回避しましたが、2電子以上の原子には直接適用できませんでした。しかし、相対論的補正やランデg値などを組み込むことで微細構造の説明にも成功し、原子分光データ解析の指針を提供しました。加えて、ボーアは対応原理を提唱し、高量子数極限で新しい量子理論が古典理論と一致する必要性を強調しました。対応原理は後にハイゼンベルクの行列力学やシュレーディンガー方程式の構築過程において重要な概念となりました。ボーア模型自体はやがて波動力学に置き換えられましたが、教育的・直感的な価値は依然として高く、入門書で現在も採用されています。また、ボーア半径や電離エネルギーなどの概念は、原子ユニット系での基準として量子化学計算に利用されています。1922年のノーベル賞は、原子構造研究への貢献だけでなく、量子論の発展に決定的な影響を与えた点を評価して授与されました。

1913年の三部作論文でボーアはCoulombポテンシャル下の電子安定軌道をBohr–Sommerfeld量子条件mvr=nħにより導出し、水素ライマン系列等の波数式を厳密に再現した。さらに核電荷Zの拡張や遮蔽定数の導入で多電子系の傾向を示し、対応原理により散乱断面積と分光遷移確率の対応を導出した。これらはディラック放射論の選択則、線幅解析、減衰寿命理論の基盤となった。Rydberg定数の理論計算で示したreduced mass補正は精密分光測定の指標となり、その後のQED検証に大きく寄与した。非放射遷移状態の概念はメタステーブル準位理論へ展開し、レーザー媒質設計を促進した。Bohr半径スケーリングはThomas–Fermi模型との連携で遮蔽効果評価に寄与し、WKB近似への一般化を通じて多変数量子系の解析的枠組みを準備した。高Z系の相対論的補正やLamb shiftなど未解決課題を示唆した点も、後の精密原子物理の動機づけとなった。結果としてボーアの研究は分光学のみならず固体物理、プラズマ物理、原子核物理に波及し、量子理論黎明期の統一的フレームワークを提示した。