対称性は、鏡映や回転を行ったときに物理法則が変わらない性質を指します。ウィグナーは数学のグループ理論を導入し、対称操作を数式で扱えるようにしました。それにより、エネルギー保存や電荷保存などの保存則が対称性から自然に導けることを示しました。また、核エネルギー準位の分類や素粒子の性質を決定する『量子数』を整理し、実験結果の理解を助けました。彼の考え方はレーザーや半導体の設計に応用され、現代の情報社会の根幹を支えています。高校で学ぶ運動量保存なども、実は対称性の一種であることが分かります。

ウィグナーはリー群と表現論を用いて、量子力学的ハミルトニアンの対称操作に対応する保存量を体系化した。特にSU(2)回転群の表現は核スピンや等角運動量の分類に不可欠であり、Wigner-Eckartの定理は遷移確率計算を大幅に簡素化した。時間反転やパリティなどの離散対称性も議論し、弱相互作用でのパリティ非保存の発見に至る理論的基盤を提供した。さらに、原子核の等核子（プロトンと中性子）に対するアイソスピン概念を導入することで、多重度や選択則を明確化した。これらの成果は標準模型以前の場の理論構築や群論的素粒子分類（Eightfold Way 等）へ発展し、現在の高エネルギー実験解析にも直結している。

ウィグナーは量子系の対称変換をユニタリまたは反ユニタリ作用素として定式化し、Wigner’s theorem により確率振幅保存を証明した。彼の群論的アプローチは、Poincaré群の既約表現による素粒子分類、核構造におけるSU(4) 超多重度、および共形対称性の先駆的研究を含む。パリティ・タイムリバーサルを含む離散対称性の枠組みは、CPT定理の厳密証明に向けた数理的土台を提供した。さらに、共変摂動理論における選択則をWigner 3j・6j 記号で表現し、角運動量結合の普遍的アルゴリズムを確立した。これらは核磁気双極子遷移、Mössbauer 効果、バリオン分光など多岐にわたる応用を可能にしている。